Können Sie einen Troll mit Ihrem Taschenrechner besiegen?

The Riddler

Von Zach Wissner-Gross

9. Juni 2023, 8:00 Uhr

Illustration von Guillaume Kurkdjian

Willkommen bei The Riddler. Jede Woche stelle ich Aufgaben im Zusammenhang mit den Dingen, die uns hier am Herzen liegen: Mathematik, Logik und Wahrscheinlichkeit. Jede Woche werden zwei Rätsel präsentiert: das Riddler Express für diejenigen unter Ihnen, die etwas Kleines wollen, und das Riddler Classic für diejenigen unter Ihnen, die sich für langsame Rätsel interessieren. Geben Sie für eines von beiden eine richtige Antwort ein1 und Sie erhalten möglicherweise in der nächsten Spalte eine Ansage. Bitte warten Sie bis Montag, um Ihre Antworten öffentlich zu teilen! Wenn Sie einen Hinweis benötigen oder ein Lieblingsrätsel auf Ihrem Dachboden verstaubt, finden Sie mich auf Twitter oder senden Sie mir eine E-Mail.

Am Freitag, den 30. Juni, erscheint die letzte Kolumne für The Riddler hier bei FiveThirtyEight. Wenn meine Rechnung stimmt, gab es in den letzten acht Jahren 375 Kolumnen (dies ist die 376.), vier unter der Leitung von Oliver Roeder und weitere vier unter meiner. Jeder Moment war ein absolutes Vergnügen, vom Lesen (und dem Versuch, sie zu lösen) der Rätsel der Einreicher über das Schreiben einiger eigener Rätsel bis hin zum Staunen über die kreativen Lösungen und Kooperationen in der gesamten Riddler Nation.

Aber das ist noch nicht ganz das Ende. Am Freitag, den 23. Juni, werde ich den achten und letzten Kampf für Riddler Nation durchführen, wobei die Ergebnisse in der folgenden Woche in der ultimativen Kolumne erscheinen. Und danach … bleiben Sie dran!

Wenn Sie weitere wöchentliche Rätsel in den Bereichen Mathematik, Logik und Wahrscheinlichkeit (und gelegentlich auch Geometrie, Physik und mehr) wünschen, nehmen Sie bitte an einer einminütigen Umfrage teil, die mir bei der Planung einiger meiner nächsten Schritte helfen wird:

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Von Tim Curwick kommt ein Rätsel mit Hinweisen:

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Sie sind Missionskommandant der Riddler Space Agency, die sich mit einer konkurrierenden Agentur an einem Wettlauf ins All beteiligt. Beide Agenturen versuchen, Gebiete eines neu entdeckten, perfekt kugelförmigen Mondes zu erobern, der über ein Magnetfeld verfügt. Überall auf der Oberfläche dieses Mondes zeigen die Magnetfeldlinien vom Nordpol zum Südpol, parallel zur Oberfläche (dh das Magnetfeld zeigt nicht in das Mondvolumen hinein oder aus ihm heraus).

Während Ihr Team zuerst den Mond erreichen wird, haben die verantwortlichen Politiker eine ziemlich bizarre Vereinbarung getroffen. Wo immer Ihr Team auf dem Mond landet, gehören alle Punkte auf der Oberfläche, deren Magnetfeldlinien in Richtung Ihres Landeplatzes zeigen – das heißt, wo das Magnetfeld mehr in Richtung Ihres Landeplatzes zeigt als von ihm weg – zur Riddler Nation . Alle verbleibenden Teile der Fläche gehen an das Land der konkurrierenden Agentur.

Wenn Ihr Team an einem zufälligen Punkt auf der Oberfläche dieses Mondes landet, wie hoch ist dann der erwartete Anteil der Mondoberfläche, der von Riddler Nation beansprucht wird?

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Als du eines Tages eine Brücke überquerst, wirst du von einem Troll angehalten. Der Troll gewährt Ihnen den Übergang auf die andere Seite, vorausgesetzt, Sie können die Fakultät einer Zahl N abschätzen. (Der Troll erinnert Sie freundlich daran, dass die Fakultät – geschrieben mit einem Ausrufezeichen – einer ganzen Zahl das Produkt aller ganzen Zahlen ist von 1 bis zu dieser Zahl. Beispielsweise ist 5! das Produkt der ganzen Zahlen von 1 bis 5, also 120.)

Das ist kein Problem, denken Sie, während Sie Ihren Taschenrechner aus der Tasche holen. Zusätzlich zu den 10 Ziffern und einem Dezimalpunkt kann Ihr Rechner addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren. Und es gibt sogar eine Fakultätstaste. Oder besser gesagt: Früher war es …

Es scheint, dass der hinterhältige Troll auf magische Weise die Fakultätstaste von Ihrem Taschenrechner entfernt hat und sie durch eine Taste mit der Bezeichnung „N“ ersetzt hat, die bei jedem Drücken den Wert von „N“ aus dem Speicher des Taschenrechners lädt. Der Troll hat Ihnen den genauen Wert von N nicht verraten, obwohl Ihr Rechner ihn kennt, aber Sie wissen, dass N nicht mehr als 200 beträgt.

Um die Brücke zu passieren, müssen Sie Ihren Taschenrechner verwenden, um N zu schätzen! auf zwei Größenordnungen genau – das heißt, Ihre Antwort muss innerhalb eines Faktors von 100 vom genauen Wert von N! liegen.

Welchen Ausdruck werden Sie in Ihren Taschenrechner eingeben?

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Herzlichen Glückwunsch an 👏 Aaron L. 👏 aus Houston, Gewinner des Riddler Express der letzten Woche.

Letzte Woche haben Sie auf ein Pferderennen im Riddler Casino gewettet. Das Casino stellte für jedes Pferd Wettquoten (im amerikanischen Format) zur Verfügung. Beispielsweise bedeutete eine Quote von -150, dass Sie für jeden Einsatz von 150 $ zusätzlich 100 $ gewannen. Eine Quote von +150 hingegen bedeutete, dass Sie für jeden Einsatz von 100 $ zusätzlich 150 $ gewannen.

Um nun die Gewinnschwelle zu erreichen, sollte ein Pferd mit einer Quote von -150 in 60 Prozent der Fälle gewinnen, während ein Pferd mit einer Quote von +150 in 40 Prozent der Fälle gewinnen sollte. (Ja, sowohl +100 als auch -100 entsprechen einer Siegchance von 50 Prozent.) Natürlich manipulieren die meisten Casinos die Quoten so, dass Sie durch Wetten auf alle Pferde in einem Rennen Geld verlieren.

Aber nicht das Riddler Casino! Hier hat ein Pferd mit einer Quote von -150 genau eine Gewinnchance von 60 Prozent und ein Pferd mit einer Quote von +150 genau eine Chance von 40 Prozent.

Und so erregte letzte Woche ein Fünf-Pferde-Rennen Ihre Aufmerksamkeit. Die Quoten für drei der Pferde lagen bei +100, +300 und +400. Man konnte die Quoten für die letzten beiden Pferde nicht genau erkennen, aber man konnte erkennen, dass es sich bei beiden um positive Vielfache von 100 handelte. Wie hoch waren die höchstmöglichen Chancen, die eines dieser beiden letzten Pferde gehabt haben könnte?

Da Sie wussten, dass das Riddler Casino faire Quoten bietet, konnten Sie die Quoten der ersten drei Pferde direkt in Wahrscheinlichkeiten umrechnen. Das erste Pferd hatte eine Quote von +100, was bedeutete, dass Sie für jede 100 $, die Sie setzten, zusätzlich 100 $ gewannen. Damit die Quoten fair waren, musste die Gewinnwahrscheinlichkeit dieses Pferdes 1/2 betragen. Das zweite Pferd hatte eine Quote von +300, was bedeutete, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 betrug. Das dritte Pferd hatte eine Quote von +400, was bedeutete, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit 1/5 betrug. Im Allgemeinen entsprachen positive Quoten, die 100 mal x betragen, einer Wahrscheinlichkeit von 1/(x+1).

Sie wussten außerdem, dass eines der fünf Pferde gewinnen musste, was bedeutete, dass sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren mussten. Die ersten drei Pferde hatten eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1/2 + 1/4 + 1/5 oder 19/20. Das bedeutete, dass die letzten beiden Pferde zusammen eine Siegchance von 1 zu 20 hatten. Doch wie hoch waren ihre individuellen Chancen?

Wir haben bereits gesagt, dass eine positive Quote von 100 mal x einer Wahrscheinlichkeit von 1/(x+1) entspricht. Wenn x also eine ganze Zahl war, wie Ihnen gesagt wurde, war dies bei den letzten beiden Pferden der Fall, bedeutete dies, dass die Wahrscheinlichkeit ein Einheitsbruch war (dh ein Bruch mit einem Zähler von 1). Das bedeutete, dass die letzten beiden Pferde Wahrscheinlichkeiten hatten, die als 1/a und 1/b geschrieben werden konnten, wobei a und b ganze Zahlen waren und 1/a + 1/b = 1/20.

Bei dem Rätsel ging es speziell um die höchstmögliche Quote für eines der letzten beiden Pferde, also wollte man eine dieser beiden Wahrscheinlichkeiten minimieren, beispielsweise 1/b. Sie könnten 1/b minimieren, indem Sie 1/a maximieren, und der größte Einheitsbruch kleiner als 1/20 war 1/21. Wenn Sie a gleich 21 setzen, erhalten Sie 1/b = 1/20 − 1/21, was 1/b = 1/420 bedeutet, was in der Tat der kleinstmögliche Einheitsbruch ist, den Sie erzeugen können. (Gleichzeitig war 1/420, wie der Löser Bowen Kerins erkannte, ein Wert, der eindeutig mit der höchsten Quote verbunden war.)

Der letzte Schritt bestand darin, diese Wahrscheinlichkeit wieder in Wettquoten umzuwandeln. Die letzten beiden Pferde hatten eine Quote von +2.000 (für das Pferd mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/21) und+41.900(für das Pferd mit Wahrscheinlichkeit 1/420).

Herzlichen Glückwunsch an 👏 Adam Richardson 👏 aus Old Hickory, Tennessee, Gewinner des Riddler Classic der letzten Woche.

Letzte Woche gab es in einer Spielshow drei identische Türen, die von links nach rechts in einer Reihe angeordnet waren. Der Moderator der Show, „Monty“, wählte eine der Türen und platzierte einen Preis von 100 Dollar dahinter. Hinter den anderen beiden Türen befand sich kein Preis. Sie waren nicht anwesend, als Monty die Tür auswählte und das Geld dahinter platzierte, sodass Sie nicht mit Sicherheit sagen konnten, hinter welcher Tür sich der Preis befindet.

Anschließend wurden Sie auf die Bühne gebracht und mussten eine der drei Türen zum Öffnen auswählen. Wenn das Preisgeld dahinter steckte, dann haben Sie gewonnen! Aber wenn Sie falsch geraten haben, war noch nicht alles verloren. Sie könnten 80 $ bezahlen, um eine zweite Tür auszuwählen. Bevor Sie jedoch diese zweite Auswahl trafen (aber nachdem Sie die 80 $ bezahlt hatten), gab Monty Ihnen einen Hinweis und sagte Ihnen, ob sich der Preis hinter einer Tür links oder rechts von Ihrer ersten Auswahl befand. (Beachten Sie, dass dieser Hinweis nur hilfreich war, wenn Sie zuvor die mittlere Tür ausgewählt haben.) Wenn sich der Preis nicht hinter dieser zweiten Tür befand, könnten Sie weitere 80 $ bezahlen, um es ein drittes Mal zu versuchen.

Sie könnten davon ausgehen, dass sowohl Sie als auch Monty mit optimalen Strategien gespielt haben – Sie maximierten Ihren erwarteten Nettogewinn (Preisgewinne abzüglich Zahlungen für Hinweise) und Monty minimierten diesen. Mit wie viel Nettoverdienst hätten Sie im Durchschnitt rechnen können?

Sie hätten vielleicht gedacht, dass Sie zuerst die mittlere Tür hätten öffnen sollen. Wenn der Preis dahinter steckte, dann haben Sie 100 $ gewonnen, ohne einen Cent zu zahlen, was großartig war! Aber wenn der Preis nicht hinter der mittleren Tür wäre, könnten Sie 80 $ für einen Hinweis und eine weitere Auswahl zahlen. Dieser Hinweis verriet Ihnen natürlich genau, wo sich der Preis befand, da es nur eine Tür links von der Mitte und eine Tür rechts davon gab. Nachdem Sie die 80 $ bezahlt hatten, war es Ihnen garantiert, dass Sie bei Ihrer nächsten Auswahl 100 $ gewinnen würden. Mit dieser Strategie haben Sie entweder direkt 100 $ gewonnen oder einen Gewinn von 20 $ gemacht.

Wenn Monty Ihre Strategie verstanden hätte, hätte er den Preis definitiv hinter einer der beiden Seitentüren und nicht in der Mitte platziert, was bedeutete, dass Sie nie die 100 $ gewonnen und stattdessen nur 20 $ verdient haben. Anstatt also immer zuerst die mittlere Tür auszuwählen, lohnte es sich, eine gemischte Strategie auszuprobieren, bei der man manchmal die mittlere Tür und manchmal eine Seitentür wählte. Monty würde wahrscheinlich dasselbe tun. Und mit einem gemischten Strategiewettbewerb für zwei Spieler fiel dieses Rätsel problemlos in den Bereich der Spieltheorie.

Angenommen, Sie haben die mittlere Tür mit der Wahrscheinlichkeit p und jede Seitentür mit der Wahrscheinlichkeit (1−p)/2 ausgewählt. Angenommen, Monty platziert den Preis hinter der mittleren Tür mit der Wahrscheinlichkeit a und einer Seitentür mit der Wahrscheinlichkeit q und jeder Seitentür mit der Wahrscheinlichkeit (1−q)/2. Was waren Ihre erwarteten Gewinne in Bezug auf p und q?

Ihre Chancen, die Preistür direkt auszuwählen – egal, ob es sich um die Mitteltür oder eine Seitentür handelte – lagen bei pq + (1−p)(1−q)/2. In diesem Fall haben Sie 100 $ gewonnen. Wenn Sie zuerst die mittlere Tür gewählt haben, aber falsch gelegen haben, was mit der Wahrscheinlichkeit p(1−q) vorkam, stellte der Hinweis sicher, dass Sie bei Ihrem nächsten Versuch immer richtig getippt haben, was bedeutete, dass Ihr Nettogewinn 20 $ betrug. Wenn Sie eine Seitentür ausgewählt haben, sich aber geirrt haben, was mit der Wahrscheinlichkeit (1−p)q + (1−p)(1−q)/2 der Fall war, hatten Sie immer noch zwei Türen, die möglicherweise den Preis verbargen, und es stellte sich heraus, dass dies der Fall war Es lohnt sich nicht, weiterzuspielen, was bedeutet, dass Sie ohne Nettogewinn oder -verlust davongekommen sind.

Fasst man diese Ergebnisse zusammen, betrugen Ihre erwarteten Gewinne in Dollar 100pq + 100(1−p)(1−q)/2 + 20p(1−q), was vereinfacht 50 − 30p − 50q + 130pq ergibt. Es stellte sich heraus, dass dieses Spiel ein einzigartiges Nash-Gleichgewicht hatte, das vom Löser Rohan Lewis unten dargestellt wurde:

Um dieses Gleichgewicht analytisch zu lösen, könnten Sie analysieren, wie dieser vorherige Ausdruck mit p und q variiert. Für jeden Wert von q (dh unabhängig von Montys Strategie) führte ein bestimmter Wert von p immer zu den maximal erwarteten Gewinnen. Um diesen Wert zu berechnen, könnten Sie die partielle Ableitung nach q nehmen, um 130p − 50 zu erhalten. Wenn Sie diesen Wert auf Null setzen, erhalten Sie den optimalen Wert von p (für Sie), der 5/13 beträgt. In ähnlicher Weise erhielt man durch die partielle Ableitung nach p den Ausdruck 130q − 30, und wenn man diesen auf Null setzte, erhielt man den optimalen Wert von q (für Monty), der 3/13 war.

Nach Abschluss der Spieltheorie lief es wie folgt ab: Monty platzierte den Preis mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/13 hinter der mittleren Tür und mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/13 hinter jeder der beiden Seitentüren. Dann haben Sie die mittlere Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/13 und jede der beiden Seitentüren mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/13 ausgewählt. All dies machte intuitiv Sinn – man entschied sich eher für die mittlere Tür als für eine der beiden Seiten, während Monty die Seitentüren in der Mitte bevorzugte.

Das Einsetzen dieser Werte von p und q in den Ausdruck für erwartete Gewinne ergab ein Ergebnis von etwa 500/1338,46 $ . Tatsächlich waren das mehr als die 20 Dollar, wenn Sie sich immer für die mittlere Tür entschieden hätten und Monty Ihren Plan durchschaut hätte.

Für zusätzliches Guthaben haben Sie ein ähnliches Spiel mit Monty gespielt, dieses Mal mussten Sie jedoch 80 $ im Voraus bezahlen, bevor Sie Ihre erste Tür auswählen konnten. Wenn das Preisgeld bei 100 US-Dollar bliebe, war dieses spezielle Spiel nicht das Spielen wert. Wie hoch hätte das Preisgeld sein müssen, damit sich dieses neue Spiel lohnt?

Einer ähnlichen Analyse zufolge lohnte sich ein solches Spiel erst, wenn der Preis überstieg144 $.

Na, hast du kein Glück? Es gibt ein ganzes Buch voller der besten Rätsel aus dieser Kolumne und einiger noch nie dagewesener Rätsel. Es heißt „The Riddler“ und ist jetzt im Handel erhältlich!

Senden Sie eine E-Mail an Zach Wissner-Gross unter [email protected].

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